función

Abr 19, 2016

Nos ocupamos en este artículo del concepto de función (I) en sus precedentes históricos; (II) en la forma en que es usualmente presentado en muchos tratados clásicos de matemáticas; (III) en su fundamentación lógica y (IV) en el sentido general filosófico que ha tomado a veces en el período moderno. En la sección (III) procederemos a (IIIa) un examen de diversos usos del término ‘función’ en la literatura filosófica durante algunos decenios y a (IIIb) a una presentación del concepto de función en la lógica tal como es admitido hoy por la mayor parte de los autores. Desde el punto de vista lógico, (IIIb) será, pues, nuestra sección principal.

Según las investigaciones de Anneliese Maier (especialmente en Su libro Die Vorläufer Galileis im 14. Jahrhundert, 1949, II, 4, págs. 81110), los escolásticos del siglo XIV no conocieron la noción de función en el sentido de la matemática moderna, pero estaban familiarizados (como lo había estado ya, por lo demás, Aristóteles) con la idea de la dependencia funcional. Sin esta idea habría resultado imposible una ciencia del movimiento en sentido amplio. Se sabía, en efecto, que hay en la Naturaleza dependencias tales, que el cambio de una magnitud es condicionada por el cambio de otra magnitud, que a mayor fuerza corresponde mayor efecto, que en el movimiento local el camino recorrido aumenta con el tiempo, que el equilibrio depende de la magnitud del cuerpo, etc., etc. Se sabía, además, que en todos estos casos las dependencias obedecen a una cierta regularidad. Cierto que estos saberes no condujeron a las ideas más precisas sobre la función descubiertas por los filósofos y matemáticos del siglo xvn. En efecto, ni la expresión de una función por medio de una ecuación funcional ni su representación gráfica por medio de rectas o curvas en un sistema de coordenadas aparecen en la literatura filosófica escolástica, ni siquiera la del siglo XIV.
Los símbolos y gráficos usados por Nicolás de Oresme resultan insuficientes desde el punto de vista moderno. Y el «cálculo literal» o «álgebra verbal» empleados por los escolásticos del siglo XIV no permitieron grandes desarrollos científicos. Pero aun descontado todo esto se puede afirmar, con el historiador mencionado al principio, que los escolásticos en cuestión no ignoraron que hay posibilidades de descripción de fenómenos naturales mediante funciones. Los ejemplos que pueden aducirse son varios. He
aquí algunos. Tomás Bradwardine investigó en su Tractatus proportiorum, de 1328 (ed. París, 1495, Venecia, 1505, Viena, 1505) la regla matemática (o ecuación funcional) que determina la dependencia entre la fuerza de resistencia y la velocidad de un cuerpo en movimiento. Según Tomás Bradwardine, cuando la fuerza motriz es mayor que la resistencia, la velocidad depende de los cocientes de ambas magnitudes, y cuando la fuerza es igual o menor que la resistencia, la velocidad es nula. Tomás Bradwardine usaba a tal efecto la noción escolástica de proportio o cociente (fracción), distinta de la idea de comparación; sus investigaciones eran, pues, relativas a las proportiones velocitatum in motibus (o diferencia y cambios en las velocidades). Varias fórmulas fueron propuestas: a una elevación al cuadrado del cociente de la fuerza y la resistencia corresponde una duplicación de la velocidad; a una elevación a las potencias 3, 4, 5, corresponde una triplicación, cuadruplicación, quintuplicación de la velocidad. Y a la inversa: la duplicación de la velocidad presupone elevación al cuadrado de la fuerza y de la resistencia; la triplicación de la velocidad, elevación al cubo de la fuerza y de la resistencia, etc. Por caminos análogos siguieron Juan Buridán, en sus comentarios físicos (Phys., VII, ed. París, 1509); Nicolás de Oresme, en su De proportionibus proportionum (ed. Venecia, 1505); Alberto de Sajonia en su Physica ( Subtilissimae quaestiones super octo libros Physicorum [ed. Venecia, 1504]); Marsilio de Inghen, en sus abreviaturas para la física ( ed. Venecia, 1521); Gualterio Burleigh, en sus comentarios a la física; Juan Marliana, en su Quaestio de proportione motum in velocitate, de 1464 (Cfr. M. Clagen, G. Marliani and Late Medieval Physics, 1941); Blasio de Parma, en comentarios a Tomás Brad wardine. Podemos, pues, concluir que durante el siglo XIV tuvieron lugar en este respecto (como en varios otros ) investigaciones que en muchos casos no prosiguieron, detenidas, como pretendería Bochenski, por la retórica renacentista y la «hostilidad a las sutilezas escolásticas», pero que, con otras bases más sólidas, alcanzaron gran desarrollo en el siglo XVII. La noción propiamente moderna de función (matemática) comienza, en efecto, en este último siglo.

Esta noción en sentido moderno tiene un antecedente en la geometría analítica, de Descartes (1637). En 1693 y en 1694 Jacob Bernoulli (1654-1705) y Leibniz aplicaron explícitamente la noción de función a expresiones matemáticas; Leibniz parece haber sido, además, el primero que usó el vocablo ‘función’ en tales contextos.
La notación ‘f (x)’ a que luego volveremos a referirnos fue usada por Leonhard Euler en 1734. Gran progreso experimentó la teoría matemática de las funciones en la obra de Joseph Louis Lagrange (17361813), Théorie des fonctions analytiques (1797). Nombres importantes a retener a partir de Lagrange en la teoría matemática de las funciones son: Augustin Louis Cauchy ( 17891857); K. Weierstrass (1815-1897), que procedió a una aritmetización de la teoría funcional; Vito Volterra (1860-1940), el cual desarrolló el cálculo funcional a base de una teoría general de los funzionali o «funciones de línea», introduciendo las nociones de variación y de derivada funcional (que son respecto a los funzionali lo que son las nociones de diferencial y de derivada en las funciones ordinarias ).
Se llama usualmente «función» a la relación entre dos o más cantidades tal que, siendo las cantidades variables, la relación entre ellas es constante. Más precisamente se llama «función» a una relación en la cual cierta cantidad llamada «valor de la función» está ligada a otra cantidad llamada «argumento de la función». Puede decirse también que una función es una relación entre variables tal que, dadas, por ejemplo, dos variables, para cada valor asignado a una de ellas se determinan uno o más valores a la otra. La variable a la cual se asignan (arbitrariamente) valores es llamada «variable independiente».

III. La noción de función en la lógica fue presentada al principio (Cfr. Frege, Grundgesetze, I; Whitehead y Russell, Principia Mathematica, I) bajo el concepto de función proposicional. Según Russell, una función preposicional es una función en la cual los valores son proposiciones. Hay que distinguir entonces entre funciones descriptivas y funciones proposicionales. Una función descriptiva tal como la preposición más larga de este libro no es una función proposicional, aun cuando su valor sea también una proposición.

En una función proposicional los valores deben ser enunciados y no descritos. Ejemplo de función proposicional es x es humano. No podemos decir si tal función es verdadera o falsa cuando asignamos un valor a x. Así, una función proposicional es «algo que contiene una variable, x, y expresa una proposición tan pronto como se asigna un valor a x».

IIIa. La noción anterior, de función proposicional, fue objeto de muchas discusiones y críticas. Algunos autores (por ejemplo, S. K. Langer) manifestaron que la función proposicional no es, propiamente hablando, una proposición y que, por consiguiente, es menester usar otro vocabulario o precisar en cada caso qué se entiende por función. La variedad de usos del término ‘función’ en la literatura lógica durante varios decenios ha sido, en efecto, considerable. He aquí una lista de usos que reproducimos de R. Carnap (Studies in Semantics, I, 1942, pág. 232. Apéndice): 1. ‘Función’ es usada para indicar una expresión con variables libres. A veces se califica asimismo de función expresional y de expresión abierta. Hay dos clases de tales expresiones: (IA). La función como expresión de una forma sentencial con variable libre, la cual recibe otros nombres: función proposicional (Russell), matriz sentencial (Quine), forma proposicional o forma sentencial (Langer, Sheffer); (IB) La función como

expresión con variables libres que no tiene forma sentencial, la cual recibe a veces el calificativo de función nominal. II. La función como expresión del término designado o entidad determinada por la expresión. Puede entenderse (IIA) como atributo, y (IIB) como función objetiva y función descriptiva. Según Carnap, el uso lógico más propio es el que se indica en (II) o en (IIB), debiendo buscarse otras expresiones para los significados de (I). IIIb.

La noción de función tal como es presentada en muchos tratados clásicos de matemáticas es con frecuencia demasiado restringida y casi siempre excesivamente imprecisa. La noción de función dilucidada en la literatura lógica durante muchos decenios ha estado afectada por ambigüedades tanto de definición como de uso; hoy se conviene, por ejemplo, que el concepto de función proposicional tal como fue presentado por Whitehead y Russell es una fuente de imprecisiones y de dificultades. Los tratadistas lógicos tienden, pues, a precisar la noción de función. Ésta es presentada dentro de la lógica de las relaciones. Daremos a continuación algunas indicaciones sumarias sobre el asunto.

Según hemos visto en el artículo sobre la noción de relación , hay tres tipos de relaciones: de uno a muchos, de muchos a uno, y de uno a uno. Una función es una relación del primer o del tercer tipo. Ejemplos de funciones son las relaciones esposo de (en el supuesto de la monogamia), cubo de. Dada una función R y las entidades que relaciona R, esto es, el relacionante —’x’ en ‘x R y’— y el relacionado —’y’ en ‘x R y’—, x es llamado el valor de R para el argumento y, e y es llamado el argumento de R. Las funciones pueden ser abstraídas de nombres, de modo que la función cuádruple de es abstraída del nombre ‘4x’. Las funciones pueden ser de un solo argumento (como doble de) o de dos o más argumentos (como la función de dos argumentos producto de).

Las funciones pueden ser sentenciales y no sentenciales. Ejemplo de función no sentencial es la citada función doble de. Ejemplo de función sentencial es la función x es puntiagudo. Como la función cuyo valor para el argumento x’ se abrevia FUN mediante ‘λ

‘ la función doble de se expresará mediante: λ

x

2x y la función x es puntiagudo se expresará mediante: λ

x

x

(x es puntiagudo). Hay ciertas funciones sentenciales que son funciones de verdad; nos hemos referido a ellas en el artículo FUNCIÓN DE VERDAD.

En matemática pueden definirse las funciones como clases de pares ordenados, de suerte que la relación cuadrado de es la de todos los pares ordenados (x, x

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). En el par ordenado (x, y), x es considerado el argumento, e y es considerado el valor o valores correspondientes a los x. Algunos autores admiten solamente funciones de un solo valor; otros, en cambio, admiten asimismo funciones de muchos valores. Las funciones de muchos valores pueden ser presentadas como si fuesen distintas de relaciones. Obsérvese que esta presentación de las funciones en matemática corresponde a la antes indicada en lógica, cuando menos para funciones de un solo valor. En efecto, la expresión ‘y = f (x)’ usada por los matemáticos es considerada como el modo habitual de escribir ‘x R y,’ donde R es una función, x es el argumento e y es el valor correspondiente a x.

IV. De un modo muy general ha sido usado el término ‘función’ por varios filósofos para expresar el modo de comportarse de una realidad constituida por relaciones o haces de relaciones. Ha sido frecuente comparar el concepto de función con el concepto de substancia. Según algunos, estos conceptos son opuestos. Otros, en cambio, mantienen que el concepto de función es el fundamento del concepto de substancia o viceversa. Así, la función puede ser considerada sobre todo como función de una substancia, o bien la substancia puede ser considerada como surgida de una conceptualización de una función dada, conceptualización que puede ser legítima, inadmisible o de índole meramente «ficcional». Muy frecuente ha sido en la época moderna la tendencia hacia lo que puede calificarse de primado de la función sobre la substancia. Se ha hablado entonces de un funcionalismo, enemigo del substancialismo, y paralelo a la afirmación del primado de lo dinámico sobre lo estático y del devenir sobre el ser. Con este concepto general se han relacionado diversas formas de funcionalismo en varias esferas del conocimiento o del arte: psicología funcional, educación funcional, arquitectura funcional, etc. Lo característico de estas tendencias ha sido el considerar que un conjunto dado está constituido no por cosas (o substancias en general), sino por funciones, de tal modo que toda realidad es definida por la función que ejerce. Algunos autores (como Mach) han hablado de física funcional, entendiendo por ella una física en la cual las leyes representan únicamente la expresión de las relaciones entre fenómenos, con lo cual se eliminan las nociones de causa y de substancia, estimadas como «residuos metafísicos» del racionalismo o del idealismo (o de ambos). Conviene observar, empero, que hay una diferencia entre las tendencias funcionalistas para las cuales el primado de la función se entiende desde un punto de vista ontológico y las tendencias funcionalistas para las cuales tal primado es entendido desde el ángulo epistemológico o metodológico. Los dos puntos de vista, por lo demás, se combinan a veces. Ejemplo de ello lo tenemos en Cassirer, para quien lo que la antigua ontología concebía como el ser (y su unidad) es concebido por la ontología moderna (idealista) como función (y unidad de todas las funciones en el espíritu). El ser aparece así conocido como función, pero su ser conocido no es sólo una mera aprehensión, sino una forma fundamental de realidad.

Compilado por Abasuly Reyes – martes, 23 de agosto de 2011, 16:22
Fuente: Diccionario José Ferrater Mora