La palabra fanático viene del latín fanaticus, un derivado de fanum. El vocablo fanum, significa santuario o templo, y desde tiempos antiguos los romanos lo relacionaban con el verbo for, fari
(hablar solemne y públicamente), y con la palabra fatum, pues parece que un fanum era un lugar sagrado por consagración o designación oracular, aunque esta etimología presenta ciertas
dudas. Algunos indoeuropeístas sostienen que la palabra latina fanum contiene la misma raíz indoeuropea *dhēs- vinculada a conceptos religiosos que dio lugar en griego a la palabra θεός
(«theos», dios).

El vocablo fanaticus designaba primero a un servidor de un templo o fanum, especialmente a los porteros o vigilantes nocturnos que velaban con gran celo por el santuario. Poco a poco el
vocablo fue designando al adepto exclusivo de un templo, santuario o divinidad, situación poco corriente en principio para los romanos.

En efecto, en el mundo clásico, especialmente el romano, lo normal era el sincretismo y libre adopción de diversos cultos. Aparte de una religión tradicional cívica que constaba de diversos
dioses, y en que cualquiera podía participar del culto de uno u otro, en el mundo de la antigüedad era gesto propio de la ley universal de la hospitalidad, participar de los cultos de
todo aquel extranjero cuya tierra se visitaba, o de todo aquel pueblo que se incorporaba a otro.

En ese sentido, los romanos construían templos en Roma o donde fuera, a todos los dioses de los pueblos incorporados (Isis, dioses orientales, dioses celtibéricos, etc.), juntamente con los suyos.

Había sin embargo algún pueblo que consideraba un insulto que otros participaran en sus cultos, o les construyeran templos en otro lugar, o que en su tierra se edificaran templos a otros cultos (caso exclusivo del judaísmo). También se desarrollaron cultos mistéricos, para cuya práctica era necesario iniciarse y los cultores no admitían libremente a quienes no estuvieran iniciados y admitidos por un rito de ingreso. Algunas personas se iniciaban en varios y participaban en ellos, o cambiaban de uno a otro. Pero en ellos se desarrolló una cierta tendencia a ser cultor exclusivo de ese culto o ese dios solamente: es eso lo que designó la palabra fanaticus.

De hecho en el Imperio Romano la religión era absdos capitolios, consistente en haolutamente libre, y el único acto obligatorio de culto para todo ciudadano romano era un rito anual de culto al Estado y al emperador, realizado en los templos llamacer una genuflexión ante la estatua imperial y paralelamente pagar el impuesto anual a la hacienda pública, según el  porcentaje que correspondiera a cada cual con arreglo a su riqueza (la capitación), obligación cívica que los romanos refrendaban con una sanción religiosa (en eso consistía el llamado «culto
imperial»). Si uno cumplía con ese rito podía después practicar el culto que deseara, todos, varios o ninguno. Y era frecuente practicar diversos cultos, tanto privados como públicos. Lo
más raro era el cultor exclusivista o fanaticus.

Revisiones de la Etimología

Después, a partir de fanum, en el s. I a.C. se desarrolla un verbo fanor, fanari, con el significado de estar poseso por un fervor divino, delirante y frenético, que genera un nuevo sentido para fanaticus (delirante, lleno de furor religioso, frenético), que seguramente pudo sufrir también un influjo del φἀνος y φαινω griego, es decir, una especie de iluminado y exaltado religioso, que es el que acaba de dar su sentido completo a nuestra palabra «fanático».
– Gracias: Helena

La palabra latina fanaticus lleva el doble sufijo -aticus pasa al español como -ático como vemos en cuadrático, fanático y viático. Está compuesto con: El sufijo -atus, que forma participios pasivos, o sea indica que ha recibido la acción como en: cantus (canto), desertus (desierto) y sensatus (sensato). El sufijo -icus (relativo a), como en classicus (clásico), domesticus (doméstico) y rusticus (rústico).

Es importante también mencionar que la relación de fanun con fatum y fari parece ser una etimología popular impulsada por Varrón y Cicerón. Indoeuropeístas como Pokorny, Watkins, de
Vaan y Robert-Pastor no relacionan a fanun con fatum ni con fari, palabras que vinculan a otra raíz, *bha-2 (hablar).

Los que están dentro del templo son los fanaticus, «fanáticos». Los de afuera, adelante, son los pro fanum, «profanos». De ahí vienen las tan usadas palabras fan y profano.
– Gracias: Visitante 160403 desde Montevideo, Uruguay

Pues no, la palabra fanaticus en latín nunca designó al que estaba dentro de un templo, sino al cultor exclusivo de un santuario. Entre otras cosas porque en el mundo grecorromano nadie estaba «dentro del templo». El templo sólo contenía la efigie del dios y en todo caso tesoros ofrendados, y a su interior sólo podían acceder algunos sacerdotes y no todos. El culto se desarrollaba fuera, en altares situados ante los templos, dentro de un recinto perteneciente al templo, que era sagrado pero no era el edificio propiamente dicho. Sólo los cultos mistéricos celebraban sus rituales en lugares cerrados, pero estos no permitían ningún cultor fuera «delante del templo», así que no establecían tal distinción. Como se dice arriba, fanaticus sólo significó primero guardián o portero de un templo, luego, cultor exclusivo de un dios y su santuario, y después el inspirado y exaltado por un delirio, furor o entusiasmo religioso.

Hoy se usa no muy sabiamente para definir el apasionamiento y la tenacidad desmedida en la defensa de creencias u opiniones, especialmente religiosas o políticas. Esta conducta puede ir acompañada de intransigencia, intolerancia, obstinación, extremismo, radicalismo, sectarismo, exacerbación, exaltación, incondicionalidad, apasionamiento, pasión, entusiasmo, fervor, fogosidad y adicción.

Republicado de Etimologia de Chile a fines netamente acadenicos para nuestra carrera. Sobre el final esta la acepción de la Real Academia.